Первоначальное музыкальное образование получил в Московской средней специальной музыкальной школе имени Гнесиных (класс Татьяны Шкловской). В 2008 году продолжил обучение в Московской консерватории в классе Сергея Доренского.

Лауреат международных конкурсов. Выступал с оркестрами Белгородской и Томской филармоний, Камерным оркестром Великого Новгорода, Камерным оркестром «Виртуозы Праги», Филармоническим оркестром Бакэу (Румыния), Симфоническим оркестром республики Сан-Марино, Токийским симфоническим оркестром и другими коллективами.

Сольные концерты музыканта проходили в городах России, США, Германии, Италии, Франции, Бельгии, Японии. Пианист принимал участие в международных фестивалях в Италии и Франции, выступал на Фестивале Генриха Нейгауза и Фестивале романтической музыки в Москве.

В 2017 году Алексей Мельников стал победителем II Манхэттенского международного музыкального конкурса в Нью-Йорке и выступил на сцене знаменитого Каренги-холла. В том же году записал сольный альбом с музыкой Бетховена и Листа для фирмы ACOUSENCE Records. В июне 2019 года завоевал III премию и бронзовую медаль XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского.