Анна Генюшене родилась в Москве. С пяти лет начала играть на фортепиано, с восьми — участвовать в концертах, конкурсах, фестивалях и мастер-классах. Обучалась в Московском колледже музыкального исполнительства (класс Ирины Габриэловой), Московской консерватории (класс профессора Елены Кузнецовой), Королевской академии музыки в Лондоне (класс профессора Кристофера Элтона). В 2014 году представляла Московскую консерваторию на Международном студенческом фестивале в Киото (Япония). Принимала участие в мастер-классах таких педагогов, как П. Нерсесьян, В. Чачава, А. Сандлер, А. Бараковский-Рабинович, П. Немировски, В. Редик, Х. Гуттард, Ф. Радош, К. Герштейн, К. Хельвиг, Т. Унгар, И. Купер, П. Девуайон, П. Роже. С 2015 года участвует в творческих программах Санкт-Петербургского Дома музыки.
В 2017 году победила на конкурсе «Sheepdrove competition» (Великобритания), завоевала «серебро» на конкурсе «Mauro Monopoli Prize» и «бронзу» на конкурсе имени Ф. Бузони (Италия). В 2018 году стала финалисткой Международного конкурса в Лидсе и обладательницей приза Королевской Академии музыки «Patrons Award 2018» в Лондоне. В 2019 году вошла в число полуфиналистов XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского в Москве.
Выступления пианистки проходили во многих залах мира, среди которых — Большой зал Московской консерватории, Берлинская и Дублинская филармонии, Концертный зал в Киото, Вигмор-холл в Лондоне, Зал «Греппи» в Милане, Театр «Массимо» в Генуе, Зал Корто в Париже. Она сотрудничала с такими оркестрами, как Государственный академический симфонический оркестр им. Е. Ф. Светланова, Литовский академический симфонический оркестр, итальянский «Гайдновский оркестр» и британский «Халле».
Не ограничиваясь сольными программами, пианистка имеет большой опыт работы в камерном ансамбле — с квартетом «Кремона», а также в партнерстве с супругом — пианистом Лукасом Генюшасом. Вместе с ним является художественным руководителем фестиваля «NikoFest» в Москве.
В 2020 году был выпущен дебютный диск Анны на лейбле «Linn Records» с музыкой С. Рахманинова и С. Прокофьева.