Кузьма Бодров родился в 1980 году в г. Ош (Киргизия). В 2005 году окончил Московскую консерваторию по классу композиции А. В. Чайковского.
В настоящее время ведёт класс композиции в консерватории. Член Совета Союза композиторов России.
Музыка К. Бодрова звучит в России, Европе, Америке, Австралии и Новой Зеландии. Её исполняют Академический Симфонический оркестр «Новая Россия», Государственный оркестр России имени Е. Ф. Светланова, Академический симфонический оркестр московской филармонии, Большой симфонический оркестр им. П. И. Чайковского, Национальный филармонический оркестр, Камерный оркестр «Солисты Москвы», Камерный хор Московской консерватории, Хор Академии хорового искусства имени В. С. Попова, капелла имени А. А. Юрлова, Хор имени А. В. Свешникова и другие известные коллективы.
Композитор сотрудничал с такими музыкантами, как Ю. Башмет, Ю. Симонов, А. Сладковский, Б. Тевлин, В. Зива, Н. Борисоглебский, Е. Мечетина, А. Соловьёв, Б. Кинтас, С. Стадлер, Б. Березовский, М. Байо, С. Антонов, А. Тростянский, Е. Ревич, В. Холоденко.
Является участником лаборатории режиссёра и художника Д. Крымова. В области кинематографа сотрудничал с такими режиссёрами, как К. Хабенский и П. Лунгин. Музыкальный руководитель проекта образовательных анимационных фильмов «Сказки старого пианино», который в 2013 году получил премию Правительства РФ. Обладатель премии министерства обороны Российской Федерации за музыку к фильму К. Хабенского «Собибор».
С 2011 года К. Бодров является композитором-резидентом оркестра JMJ в Мадриде. Автор нескольких произведений, написанных для мессы Его Святейшества Папы Римского Бенедикта XVI (2011).
С 2012 года – приглашённый профессор Высшей школы музыки Катарины Гурски в Мадриде. Преподаёт на Высших курсах режиссёров и сценаристов в Москве.
Композитор удостоен премий многих всероссийских и международных конкурсов, в том числе имени С. Прокофьева (I премия за Концерт-сонату для скрипки с оркестром), имени Д. Шостаковича (I премия за Концерт для скрипки с оркестром) и имени Н. Мясковского (I премия за струнный квартет). Обладатель премии Д. Шостаковича Московской консерватории.
В 2011 году газета «Музыкальное обозрение» назвала его «Персоной года» в номинации «Новое поколение – музыкант года».
