Александр Забабуркин окончил Московскую государственную консерваторию и аспирантуру в классе профессора Натальи Шаховской.

Удостоен Премии Центрального федерального округа РФ за достижения в области культуры и искусства. С 2010 года является солистом, первым концертмейстером виолончельной группы Симфонического оркестра Москвы «Русская филармония». 

Совместно с пианистом М. Шаталкиным победил на конкурсе камерных ансамблей в городе Салоники (Греция, I премия). В 2006 году стал обладателем I премии, а также специального приза «Лучший исполнитель на струнном инструменте» на IV Шведском конкурсе камерных дуэтов в городе Катринехольм. Лауреат международного конкурса «Виртуозы XXI века» (II премия), лауреат III конкурса «Молодые таланты России» (I премия), лауреат международного конкурса ассоциации «Классическое наследие» (I премия). В 2020 году удостоился Благодарности Департамента культуры Москвы.

Играет на виолончели мастера Иоганна Швайцера 1852 года.