Музыкальное   образование получил в школе им. Гнесиных, а затем в Московской консерватории, где его учителями были Феликс Андриевский, Юрий Янкелевич, Леонид Коган и Игорь Безродный.

В студенческие годы завоевывает высшие награды на международных конкурсах скрипачей в Югославии, Канаде и на Всесоюзном конкурсе в Латвии.

В период 1977-1988 гг.  гастролировал по городам России и  бывшего Советского Союза, а также в странах Восточной Европы. С 1988 года география его гастролей расширилась и охватила США, Канаду, Бразилию, страны Западной Европы и Азии.

С 1978 по 1993 гг. Левон Амбарцумян преподавал в Московской консерватории. В 1993 году был приглашен преподавать  в США сначала в Университет штата Индиана, а затем в Университет штата Джорджия. Его ученики являются лауреатами различных международных конкурсов, занимают ведущие позиции во многих европейских и американских оркестрах и преподают в ряде американских университетов.

В 1989 г. Левон Амбарцумян основал в Москве камерный оркестр «АРКО», который сразу же завоевал международное признание и высокую оценку критики. В настоящее время базой оркестра является университет штата Джорджия.

В сотрудничестве с американскими и российскими звукозаписывающими компаниями музыкантом выпущено 35 компакт-дисков с музыкой Вивальди, Мендельсона, Венявского, Брамса, Чайковского, Шостаковича, Шнитке, Броннера, Подгайца и других современных композиторов.

Л. Амбарцумян удостоен званий Заслуженный артист Армении (1988) и Заслуженный артист России (1997).

В 2009 году награжден золотой медалью союза московских композиторов за вклад в современную музыкальную культуру.

С 2013 года продолжил преподавательскую деятельность в Московской консерватории в должности доцента кафедры скрипки под руководством проф. В. М. Иванова.