Дмитрий Онищенко родился в 1983 году в городе Львове (Украина). Начал обучаться музыке с четырёх лет под руководством своей матери, профессора Львовской консерватории И. Немиры, а также педагога Ю. Боня. В 1990 году поступил во Львовскую среднюю специальную музыкальную школу–интернат имени С. Крушельницкой (классы О. Качевой, А. Мацулис и О. Гереги).

В 1994 году Дмитрий впервые участвует в классном вечере, в 1995 в первый раз выступает с оркестром и принимает участие в своём первом международном конкурсе. В 1996 году пианист даёт первый сольный концерт, а в 1997 становится лауреатом Международного конкурса юных пианистов им. Ирины Цветаевой (г. Минск, Беларусь).

В 2000 году Д. Онищенко оканчивает школу по трём специальностям (фортепиано, кларнет, композиция) и поступает во Львовскую государственную музыкальную академию им. Н. Лысенко (класс доцента Н. Грамотеевой), а затем — в Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского, которую заканчивает в 2006 году (аспирантуру — в 2009 году), и где его педагогами были доцент Ю. Лисиченко, профессор Л. Наумов и доцент А. Диев. Также в 2003–2004 музыкант совершенствовал мастерство в Королевском северном колледже музыки в г.Манчестере, Великобритания (класс профессора Нормы Фишер), а начиная с 2006 года — в В Высшей школе музыки г.Ганновера у профессора Владимира Крайнева, и в настоящее время — у профессора Арие Варди. Дмитрий Онищенко — победитель V Международного конкурса юных пианистов В. Крайнева (2000), IV Международного конкурса им. В. Горовица в Киеве (2001), лауреат XII Международного конкурса им. П. И. Чайковского в Москве (2002, V премия), также осенью 2002 года получает почётную грамоту от министерства культуры Украины за весомый вклад в культуру и высокое профессиональное мастерство. Победитель III Международного конкурса молодых исполнителей в Энсхеде (2004), лауреат Международной фортепианной академии в г. Хамамацу (Япония, 2005, II премия), лауреат Международного конкурса «Vianna da Motta» (Лиссабон, Португалия, 2007, II премия), победитель Международного конкурса им. Н.Лысенко (Киев, 2007), лауреат III премии Сиднейского международного конкурса пианистов (Австралия, 2012). Лауреат украинской общенациональной программы «Человек года — 2001».

Выступал с концертами в России, Украине, Беларуси, Латвии, Польше, Германии, Франции, Великобритании, Нидерландах, Португалии, Италии, Швейцарии, Турции, Иордании, США, Японии и Австралии.